Varianz (Stochastik)

Der Titel dieses Artikels ist mehrdeutig. Dieser Artikel behandelt den theoretischen Varianzbegriff. Für die empirische, d.h. aus konkreten Daten geschätzte Varianz, siehe Stichprobenvarianz.

Dichten zweier normalverteilter Zufallsvariablen mit gleichem Erwartungswert aber unterschiedlichen Varianzen. Die rote Kurve hat eine geringere Varianz (entsprechend der Breite) als die grüne. Die Wurzel der Varianz, die Standardabweichung, kann bei der Normalverteilung an den Wendepunkten ersehen werden.

In der Stochastik ist die Varianz einer Zufallsvariable $X$ ein Streuungsmaß von $X$ , d. h. ein Maß für die Abweichung einer Zufallsvariable $X$ von ihrem Erwartungswert $\operatorname {E}(X)$ . Die Varianz der Zufallsvariable $X$ wird üblicherweise als $\operatorname{V}(X)$ , $\operatorname{Var}(X)$ , $\sigma_X^2$ oder einfach als $\sigma^2$ notiert; sie ist stets ≥ 0.

Die Varianz ist eine Eigenschaft der Verteilung einer Zufallsvariablen und hängt nicht vom Zufall ab. Sie misst die Streuung der Werte relativ zum Erwartungswert, dabei werden die Quadrate der Abweichungen entsprechend ihrer Wahrscheinlichkeit gewichtet. In der Praxis wird die Varianz der Zufallsvariable mit einem Varianzschätzer, etwa der ihrer empirischen Entsprechung, der Stichprobenvarianz, geschätzt.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition
- 1.1 Berechnung bei diskreten Zufallsvariablen
- 1.2 Berechnung bei stetigen Zufallsvariablen
2 Rechenregeln
3 Beispiele
- 3.1 Diskrete Zufallsvariable
- 3.2 Stetige Zufallsvariable
4 Verallgemeinerungen
5 Weblinks

[Bearbeiten] Definition

Es sei $X$ eine reelle Zufallsvariable, die integrierbar ist, das heißt es gilt $\operatorname{E}(|X|)< \infty$ . Dann existiert ihr Erwartungswert $\mu = \operatorname E(X)$ , und man definiert die Varianz von $X$ wie folgt:

$\operatorname{Var}(X) := \operatorname V(X) := \operatorname{E}\left( (X-\mu)^2\right).$

Ist $X$ quadratisch integrierbar, also $\operatorname{E}(|X|^2) < \infty$ , so ist die Varianz endlich.

Die Varianz ist also das zweite zentrale Moment einer Zufallsvariablen und damit die erwartete quadratische Abweichung der Zufallsvariablen von ihrem Erwartungswert.

Die Quadratwurzel der Varianz heißt Standardabweichung:

$\sigma_X :=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}$ .

[Bearbeiten] Berechnung bei diskreten Zufallsvariablen

Eine reelle Zufallsvariable mit einem endlichen oder abzählbar unendlichen Wertebereich $A$ wird diskret genannt. Ihre Varianz berechnet sich dann als

$\operatorname{Var}(X) = \sum_{x \in A} (x - \mu)^2 P(X = x).$

Hierbei ist $P(X=x)$ die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ den Wert $x$ annimmt, und

$\mu = \sum_{x \in A} x P(X=x)$

der Erwartungswert von $X$ . Die Summen erstrecken sich jeweils über alle Werte, die die Zufallsvariable $X$ annehmen kann.

[Bearbeiten] Berechnung bei stetigen Zufallsvariablen

Wenn eine Zufallsvariable $X$ eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f(x)$ hat, gilt

$\operatorname{Var}(X)\ = \int_{-\infty}^{\infty} (x-\mu)^2 f(x) \, \mathrm{d}x,$

wobei

$\mu\ = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, \mathrm{d}x.$

[Bearbeiten] Rechenregeln

[Bearbeiten] Verschiebungssatz

Varianzen lassen sich oft einfacher mit Hilfe des Verschiebungssatzes

$\operatorname{Var}(X)=\operatorname{E}\left(\left(X-\operatorname{E}(X)\right)^2\right)=\operatorname{E}\left(X^2\right)-\left(\operatorname{E}(X)\right)^2$

berechnen, da hierzu außer dem Erwartungswert von $X$ nur noch der Erwartungswert von $X^2$ bestimmt werden muss.

[Bearbeiten] Lineare Transformation

Für reelle Zahlen $a$ und $b$ gilt

$\operatorname{Var}(aX+b) = a^2 \operatorname{Var}(X).$

Dies kann mittels des Verschiebungssatzes hergeleitet werden:

$\begin{align} \operatorname{Var}(aX+b) &= \operatorname{E}[ (aX + b - \operatorname{E}(aX + b))^2 ]\\ &= \operatorname{E}[ (aX + b - b - a \operatorname{E}(X))^2 ]\\ &= \operatorname{E}[ a^2 (X - \operatorname{E}(X))^2 ]\\ &= a^2 \operatorname{E}[ (X - \operatorname{E}(X))^2 ]\\ &= a^2 \operatorname{Var}(X) \end{align}$

Insbesondere für $a = -1$ und $b=0$ folgt

$\operatorname{Var}(-X) = \operatorname{Var}(X).$

[Bearbeiten] Varianz von Summen von Zufallsvariablen

Für die Varianz einer beliebigen Summe von Zufallsvariablen $X_1,\dots,X_n$ gilt allgemein

$\operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)= \sum_{i,j=1}^n \operatorname{Cov}(X_i,X_j) = \sum_{i=1}^n \operatorname{Var}(X_i)+2\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^n\operatorname{Cov}(X_i,X_j)$

Hierin bezeichnet $\operatorname{Cov}(X_i, X_j)$ die Kovarianz der Zufallsvariablen $X_i$ und $X_j$ und es wurde verwendet, dass $\operatorname{Cov}(X_i,X_i) = \operatorname{Var}(X_i)$ gilt. Speziell für zwei Zufallsvariablen $X$ und $Y$ ergibt sich beispielsweise

$\operatorname{Var}(X+Y) = \operatorname{Var}(X) + \operatorname{Var}(Y) + 2\operatorname{Cov}(X,Y).$

Sind die Zufallsvariablen paarweise unkorreliert, das heißt ihre Kovarianzen sind alle gleich null, dann folgt:

$\operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)=\sum_{i=1}^n \operatorname{Var}(X_i)$

Dieser Satz wird auch als Formel von Bienaymé (nach Irénée-Jules Bienaymé) bezeichnet. Er gilt insbesondere dann, wenn die Zufallsvariablen unabhängig sind, denn aus Unabhängigkeit folgt Unkorreliertheit.

[Bearbeiten] Charakteristische Funktion

Die Varianz einer Zufallsvariable $X$ lässt sich auch mit Hilfe ihrer charakteristischen Funktion $\varphi_{X}(t)=\operatorname{E}\left(e^{\mathrm{i}tX}\right)$ darstellen. Wegen $\operatorname{E}(X) = \tfrac{\varphi_X'(0)}{\mathrm{i}}$ und $\operatorname{E}(X^2) = -\varphi_X''(0)$ folgt nämlich mit dem Verschiebungssatz

$\operatorname{Var}(X) = \operatorname{E}(X^2) - (\operatorname{E}(X))^2 = -\varphi_X''(0) - \left(\frac{\varphi_X'(0)}{\mathrm{i}}\right)^{2} = \left( \varphi_X'(0)\right)^2 -\varphi_X''(0).$

[Bearbeiten] Momenterzeugende Funktion

Da für die momenterzeugenden Funktion $M_X(t) = \operatorname{E}(e^{tX})$ der Zusammenhang

$M_X^{(n)}(0) = \operatorname{E}(X^{n})$

gilt, lässt sich die Varianz damit auf folgende Weise berechnen:

$\operatorname{Var}(X) = \operatorname{E}(X^2) - (\operatorname{E}(X))^2 = M_X''(0) - \left( M_X'(0)\right)^2\ .$

[Bearbeiten] Beispiele

[Bearbeiten] Diskrete Zufallsvariable

Gegeben ist eine diskrete Zufallsvariable $X$ mit den Wahrscheinlichkeiten

i	1	2	3
x_i	−1	1	2
P(x_i)	0,5	0,3	0,2

wobei der Erwartungswert

$\operatorname{E}(X) = -1 \cdot 0{,}5 + 1 \cdot 0{,}3 + 2 \cdot 0{,}2 = 0{,}2$

beträgt.

Die Varianz ist demnach

$\operatorname{Var}(X) = (-1-0{,}2)^2 \cdot 0{,}5 +(1-0{,}2)^2 \cdot 0{,}3 +(2-0{,}2)^2 \cdot 0{,}2 = 1{,}56$

Mit dem Verschiebungssatz erhält man entsprechend

$\operatorname{Var}(X) = (-1)^2 \cdot 0{,}5 +1^2 \cdot 0{,}3 +2^2 \cdot 0{,}2 - 0{,}2^2 = 1{,}56.$

Für die Standardabweichung ergibt sich damit

$\sigma_X = \sqrt{\operatorname{Var}(X)} = \sqrt{1{,}56} = 1{,}249$

[Bearbeiten] Stetige Zufallsvariable

Eine stetige Zufallsvariable habe die Dichtefunktion

$f(x) = \begin{cases} \frac {1}{x} & \text{ falls } 1 \le x \le e \\ 0 & \text{ sonst } \end{cases}$

Mit dem Erwartungswert

$\operatorname{E}(X) = \int_1^e x \cdot \frac {1}{x} dx = e - 1$

berechnet sich die Varianz mit Hilfe des Verschiebungssatzes als

$\begin{align} \operatorname{Var}(X) &= \int_{-\infty}^\infty x^2 \cdot f(x) dx - (\operatorname{E}(X))^2\\ &= \int_1^e x^2 \cdot \frac {1}{x} dx - (e - 1)^2\\ &= \left[ \frac{x^2}{2}\right] _1^e - (e - 1)^2\\ &= \frac{e^2}{2} - \frac{1}{2} -(e-1)^2\\ &\approx 0{,}242 \end{align}$

[Bearbeiten] Verallgemeinerungen

Im Falle eines reellen Zufallsvektors $X = (X_1, \dots, X_n)$ mit quadratisch integrierbaren Komponenten verallgemeinert sich die Varianz zu der Kovarianzmatrix eines Zufallsvektors:

$\operatorname{Cov}(X) := \operatorname E\left((X-\mu)(X-\mu)^T\right).$

Dabei ist $\mu = \operatorname E(X) = (\operatorname{E}(X_1), \dots, \operatorname{E}(X_n))$ der Vektor der Erwartungswerte. Der Eintrag der $i$ -ten Zeile und $j$ -ten Spalte der Kovarianzmatrix ist $\operatorname{Cov}(X_i, X_j)$ . In der Diagonale stehen also die Varianzen $\operatorname{Var}(X_i) = \operatorname{Cov}(X_i,X_i)$ der einzelnen Komponenten.